Question

已知正方形，、分別是、的中點,將△沿折起,如圖所示,記二面角的大小為.

(I) 證明//平面;

(II)若△為正三角形,試判斷點在平面內的射影是否在直線上,證明你的結論,并求角的余弦值

Answer 1

【解析】(I)證明:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,

EB//FD,且EB=FD,

四邊形EBFD為平行四邊形.

BF//ED

平面.

(II)解法1:

如右圖,點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,

過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD.

△ACD為正三角形,

AC=AD

CG=GD

G在CD的垂直平分線上,

點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,

過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設原正方體的邊長為2a,連結AF

在折后圖的△AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在Rt△ADE中,

.

解法2:點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上

連結AF,在平面AEF內過點作,垂足為.

△ACD為正三角形,F為CD的中點,

又因,

所以

又且

為A在平面BCDE內的射影G.

即點A在平面BCDE內的射影在直線EF上

過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以∠為二面角A-DE-C的平面角.即

設原正方體的邊長為2a,連結AF

在折后圖的△AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在Rt△ADE中,

.

解法3: 點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上

連結AF,在平面AEF內過點作,垂足為.

△ACD為正三角形,F為CD的中點,

又因,

所以

又

為A在平面BCDE內的射影G.

即點A在平面BCDE內的射影在直線EF上

過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即

設原正方體的邊長為2a,連結AF

在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,

即AEF為直角三角形,

在Rt△ADE中,

.