Question

設定義在R上的函數f（x）滿足：對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），對任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若對任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，則實數a的取值范圍為

[6，+∞）

．

Answer 1

分析：可通過賦值法得到f（x）為R上的奇函數，再利用函數單調性的定義分析得到f（x）為[-3，3]上的增函數，求得x∈[-3，3]時f（x）的最大值即可．

解答：解：∵義在R上的函數f（x）滿足：對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0；令y=-x，
f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）為R上的奇函數；
∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴當-3≤x₁＜x₂≤3時，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-3，3]上是增函數，
又x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，且f（1）=2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由題意可得，x∈[-3，3]時，-6≤f（x）≤6，
又對任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，
∴a≥6，即實數a的取值范圍為[6，+∞）．
故答案為：[6，+∞）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查賦值法的應用，得到f（x）為R上的奇函數是基礎，判斷f（x）在[-3，3]上是增函數是關鍵，屬于中檔題．