Question

若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），則函數f（x）（　　）

A．f（0）=0且f（x）為奇函數

B．f（0）=0且f（x）為偶函數

C．f（x）為增函數且為奇函數

D．f（x）為增函數且為偶函數

Answer 1

分析：根據已知中對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，結合函數奇偶性的定義，即可得到結論．

解答：解：∵對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴函數f（x）為奇函數．
故選A．

點評：本題考查函數的奇偶性，考查賦值法的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．