Question

如圖,已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直,且,,是的中點.(1)求點到面的距離；(2)求二面角的正弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

(1)  ;(2) .

【解析】

試題分析：（1）先建系寫出各點坐標(biāo)，求面ABC的法向量，然后求；（2）先求面EAB的法向量，再求，然后結(jié)合圖形判斷二面角E-AB-C的范圍，得其余弦值的正負(fù).

試題解析：(1)取的中點,連、

∵，則、∴面.過點O作于H，

則面,的長就是所要求的距離.

               3分

∵、,∴平面，則.

,在直角三角形中,有       6分

（另解:由知，）

(2)連結(jié)并延長交于,連結(jié)、.

∵面OAB，∴.又∵面ABC，∴，，

則就是所求二面角的平面角.                    9分 

作于,則

在直角三角形中,

在直角三角形中,     12分 

,故所求的正弦值是          14分 

方法二: (1)以為原點,、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有、、、  2分 

設(shè)平面的法向量為

則由知：；

由知：.取,  4分 

則點到面的距離為  6分 

(2)    8分

設(shè)平面的法向量為則由知:

由知:取           10分 

由(1)知平面的法向量為                11分 

則<>.          13分    

結(jié)合圖形可知,二面角的正弦值是         14分   

考點：1.點到面的距離的求法；2.二面角的求法.