Question

（本小題滿分14分）.已知函數，（a為實數）．

（Ⅰ）當a=5時，求函數在處的切線方程；

（Ⅱ）求在區間[t，t+2]（t >0）上的最小值；

（Ⅲ）若存在兩不等實根，使方程成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；

（Ⅱ）當時， ；當時，；

（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，.求出導數，進而求出切線的斜率，由點斜式即可得切線的方程；（Ⅱ）求導得，易得在單調遞減，在單調遞增.接下來結合圖象對分情況討論.顯然當時，在區間上為增函數；當時，由于必有，所以在區間上為減函數，在區間上為增函數；（Ⅲ）首先分離參數可得：.下面利用導數研究函數在上的圖象及性質，結合圖象即可求得的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）當時，． 1分

，故切線的斜率為． 2分

所以切線方程為:，即． 4分

（Ⅱ），

	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

①當時，在區間上為增函數，

所以 7分

②當時，在區間上為減函數，在區間上為增函數，

所以 8分

（Ⅲ）由，可得：， 9分

，

令， ．

	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

，， .

．

結合圖象可知實數的取值范圍為 ． 14分

考點：導數與不等式