Question

二次函數f（x）的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x）；
①若函數g（x）在x∈[0，2]上是單調增函數，求實數a的取值范圍；
②求函數g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=a（x-1）2+16=ax2-2ax+a+16，圖象在x軸上截得線段長為8，利用弦長公式與韋達定理可求得a的值，從而可求函數f（x）的解析式；
（2）求得g（x）的表達式，利用g（x）在[0，2]上是單調增函數，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由條件設二次函數f（x）=a（x-1）²+16=ax²-2ax+a+16，
設f（x）=0的兩根為：x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵圖象在x軸上截得線段長為8，由韋達定理得：
（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₂x₁=（-2）²-4×a+16 a=64
解得a=-1，
∴函數的解析式為f（x）=-x²+2x+15．
（2）①∵f（x）=-x²+2x+15，
∴g（x）=（2-2a）x-f（x）=x²-2ax-15，
而g（x）在x∈[0，2]上是單調增函數，
∴對稱軸x=a在[0，2]的左側，
∴a≤0．
所以實數a的取值范圍是{a|a≤0}．
②g（x）=x²-2ax-15，x∈[0，2]，
對稱軸x=a，
當a＞2時，g（x）_min=g（2）=4-4a-15=-4a-11，
當a＜0時，g（x）_min=g（0）=-15，
當0≤a≤2時，g（x）_min=g（a）=a²-2a²-15=-a²-15．

點評：本題考查二次函數的性質，著重考查二次函數解析式的設法與求解，突出弦長公式與韋達定理的應用，注重單調性的考查，屬于中檔題．