Question

已知點分別是射線，上的動點，為坐標原點，且的面積為定值2．
（I）求線段中點的軌跡的方程；
（II）過點作直線，與曲線交于不同的兩點，與射線分別交于點，若點恰為線段的兩個三等分點，求此時直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（x＞0）
（Ⅱ）.

（I）由題可設，，，其中.
則                                          1分
∵的面積為定值2，
∴.                 2分
，消去，得：．                          4分
由于，∴，所以點的軌跡方程為（x＞0）．
5分
（II）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為．
由消去得：，                    6分
設點、、、的橫坐標分別是、、、，
∴由得                           8分
解之得：．
∴.                       9分
由消去得：，
由消去得：，
∴.                                               10分
由于為的三等分點，∴.                 11分
解之得.                                                   12分
經檢驗，此時恰為的三等分點，故所求直線方程為.