Question

（2010•天津模擬）若函數(shù)y=f（x）在x=x₀處滿足關(guān)系
（1）f（x）在x=x₀處連續(xù)
（2）f（x）在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)不存在，就稱x₀是函數(shù)f（x）的一個“折點”．
下列關(guān)于“折點”的四個命題
①x=0是y=|x|的折點；
②x=0是y=

1 x ，，x＜0 x-1，x≥0

的折點；
③x=0是y=

-x2+1，x≤0 1，x＞0

的折點；
④x=0是y=

e-x，x＜0 x+1，x≥0

的折點；
其中正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：根據(jù)新定義可知函數(shù)在x=x₀處滿足兩個關(guān)系，在x=x₀處連續(xù)與導(dǎo)數(shù)不存在，連續(xù)性看f（x₀⁺）與f（x₀^-）是否相等，相等則連續(xù)，否則不連續(xù)，在x=x₀處的導(dǎo)數(shù)是否存在看f'（x₀⁺）與f'（x₀^-）是否相等，相等則存在，否則不存在，進行逐一判定即可．

解答：解：①y=|x|在x=0處連續(xù)，且f'（0⁺）=1，f'（0^-）=-1，兩者不等，則y=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在，故x=0是y=|x|的折點；
②函數(shù)y=

1 x ，，x＜0 x-1，x≥0

在x=0處不連續(xù)，故x=0不是y=

1 x ，，x＜0 x-1，x≥0

的折點；
③y=

-x2+1，x≤0 1，，x＞0

在x=0處連續(xù)，且f'（0⁺）=0，f'（0^-）=0，兩者相等，則y=

-x2+1，x≤0 1，，x＞0

在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在，故x=0不是y=

-x2+1，x≤0 1，，x＞0

的折點；
④y=

e-x，，x＜0 x+1，x≥0

在x=0處連續(xù)，且f'（0⁺）=1，f'（0^-）=-1，兩者不等，則y=

e-x，，x＜0 x+1，x≥0

在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在，故x=0是y=

e-x，，x＜0 x+1，x≥0

的折點；
故答案為：①④

點評：本題主要考查了函數(shù)的連續(xù)性，以及函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的存在性，屬于中檔題．