Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且sin（A-

π

6

）=cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）當a=6時，求△ABC面積的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將sin（A-

π

6

）=cosA的左端由兩角差的正弦展開，可求得tanA，從而可求角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理與三角形的面積公式，再結合基本不等式即可求得a=6時，△ABC面積的最大值及此時△ABC的形狀．

解答：解：（Ⅰ）由已知有sinA•cos

π

6

-cosAsin

π

6

=cosA，…2分
故sinA=

3

cosA，tanA=

3

，…4分
又0＜A＜π，所以A=

π

3

…6分
（Ⅱ）a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-bc=36，
∴bc≤36…9分
故三角形的面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤9

3

．當且僅當b=c時等號成立；…12分
又A=

π

3

，
∴此時△ABC為等邊三角形…13分

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查余弦定理與三角形的面積公式及基本不等式，考查△ABC的形狀判斷，屬于中檔題．