Question

對數列{a_n}，規定{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-an（n∈N）．對自然數k，規定{△^ka_n}為{a_n}的k階差分數列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（1）已知數列{a_n}的通項公式a_n=n²+n（n∈N），試判斷{△a_n}，{△²a_n}是否為等差或等比數列，為什么？
（2）若數列{a_n}首項a₁=1，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N），求數列{a_n}的通項公式．
（3）（理）對（2）中數列{a_n}，是否存在等差數列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n對一切自然n∈N都成立？若存在，求數列{b_n}的通項公式；若不存在，則請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據定義可得△a_n=a_n+1-a_n，把a_n=n²+n代入整理，根據等差及等比數列的定義判斷{△a_n}是否為等差數列或等比數列，同理可判斷{△²a_n}是否為等差或等比數列．
（2）根據題中的定義可把已知轉化為△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，整理可得a_n+1=2a_n+2ⁿ，利用遞推關系及a₁=1計算a₂，a₃，a₄，然后進行猜想a_n，再利用數學歸納法進行證明
（3）結合組合數的性質：1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1，
進行求解
解答：解：（1）△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，
∴{△a_n}是首項為4，公差為2的等差數列．△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列；
也是首項為2，公比為1的等比數列．
（2）∵△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，
即△a_n-a_n=2ⁿ，∴a_n+1=2a_n+2ⁿ，∵a₁=1，
∴a₂=4=2×2¹，a₃=12=3×2²，a₄=32=4×2³，猜想：a_n=n•2^n-1，
證明：ⅰ）當n=1時，a₁=1=1×2；ⅱ）假設n=k時，a_k=k•2^k-1；
n=k+1時，a_k+1=2a_k+2^k=k•2^k+2^k=（k+1）•2^（k+1）-1結論也成立，
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，a_n=n•2^n-1．
（3）b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n，即b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n•2^n-1，
∵1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1，
∴存在等差數列{b_n}，b_n=n，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n對一切自然n∈N都成立．
點評：本小題以新定義為載體主要考查等差數列、等比數列的定義的基礎知識，考查觀察、猜想并進行證明的數學思想方法．還考查了把新的定義轉化為利用所學知識進行求解的能力．