Question

9．已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，點E，F在側棱PA，PB上且PE=2EA，PF=2FB，點M為四棱錐內任一點，則M在平面EFCD上方的概率是（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{5}{9}$
• C． $\frac{7}{10}$
• D． $\frac{5}{8}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設四棱錐P-ABCD的高為h，底面ABCD的面積為S，可得四棱錐的體積，再利用比例關系結合等積法求出多面體ABCDEF的體積，作出得到四棱錐P-DCFE的體積，由測度比為體積比得答案．

解答 解：如圖，設四棱錐P-ABCD的高為h，底面ABCD的面積為S，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}Sh$．

∵PE=2EA，PF=2FB，
∴EF∥AB，則EF∥平面ABCD，且F到平面ABCD的距離為$\frac{1}{3}h$，
∴${V}_{F-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}S×\frac{1}{3}h=\frac{1}{18}Sh$，
${V}_{E-ACD}=\frac{1}{18}Sh$，${V}_{A-EFC}=\frac{2}{3}{V}_{A-ECD}=\frac{2}{3}{V}_{E-ACD}$=$\frac{1}{27}Sh$．
則多面體ABCDEF的體積為$\frac{4}{27}Sh$．
∴${V}_{P-DCFE}=\frac{1}{3}Sh-\frac{4}{27}Sh=\frac{5}{27}Sh$．
∴M在平面EFCD上方的概率是$\frac{\frac{5}{27}Sh}{\frac{1}{3}Sh}=\frac{5}{9}$．
故選：B．

點評 本題考查幾何概型，考查多面體體積的求法，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．