Question

（2007•河北區一模）如果方程

|x-1|

=kx恰有唯一解，則實數k的取值范圍是

k∈（-∞，0]∪（

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：設y=

|x-1|

，y=kx，然后作出兩個函數的圖象，利用圖象確定k的取值范圍．

解答：解：y=f（x）=

|x-1|

，y=kx，則f（x）=

x-1 ，x≥1 1-x ，x＜1

，圖象關于x=1對稱．
然后作出兩個函數的圖象，
當k=0時，x=1，方程有一解，所以k=0成立．
當k≠0時，
由圖象知當k＜0時，兩個方程恒有一個交點，成立．
當k＞0時，當x＞1時由kx=

x-1

，即k²x²=x-1，所以k²x²-x+1=0．
由△=0得，1-4k²=0，解得k=

1

2

，此時直線y=kx與f（x）相切，所以要使方程此時有唯一解，則k＞

1

2

．
綜上滿足條件的k的取值范圍是k∈（-∞，0]∪（

1

2

，+∞）．
故答案為；k∈（-∞，0]∪（

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查函數與方程的關系，利用數形結合是解決本題的關鍵．