Question

對于函數f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點.已知函數f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)(a≠0). 

(1)當a=1,b=-2時，求函數f(x)的不動點；

(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）當a=1,b=-2時，f(x)=x²-x-3.

由題意可知x=x²-x-3，

得x₁=-1,x₂=3.

故當a=1,b=-2時，f(x)的兩個不動點為-1,3.

（2）∵f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有兩個不動點，

∴x=ax²+(b+1)x+(b-1),

即ax²+bx+(b-1)=0恒有兩個相異的實數根，得Δ=b²-4ab+4a＞0（b∈R）恒成立.

于是Δ′=（4a）²-16a＜0,

解得0＜a＜1.

故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，a的取值范圍為0＜a＜1.