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       對于函數f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0f(x)的不動點  已知函數f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

(1)若a=1,b=–2時,求f(x)的不動點;

(2)若對任意實數b,函數f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖像上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點,且A、B關于直線y=kx+對稱,求b的最小值.


解析:

(1)當a=1,b=–2時,f(x)=x2x–3,

由題意可知x=x2x–3,得x1=–1,x2=3.

故當a=1,b=–2時,f(x)的兩個不動點為–1,3.

(2)∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有兩個不動點,

x=ax2+(b+1)x+(b–1),

ax2+bx+(b–1)=0恒有兩相異實根

∴Δ=b2–4ab+4a>0(b∈R)恒成立.

于是Δ′=(4a)2–16a<0解得0<a<1

故當b∈R,f(x)恒有兩個相異的不動點時,0<a<1.

(3)由題意A、B兩點應在直線y=x上,設A(x1,x1),B(x2,x2)

又∵A、B關于y=kx+對稱.

k=–1. 設AB的中點為M(x′,y′)

x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的兩個根.

x′=y′=,

又點M在直線上有,

a>0,∴2a+≥2當且僅當2a=a=∈(0,1)時取等號,

b≥–,得b的最小值–.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(08年黃岡中學一模理) (本小題滿分14分)對于函數f(x),若存在,使成立,則稱x0f(x)的不動點. 如果函數有且僅有兩個不動點0,2,且

(1)試求函數f(x)的單調區間;

(2)已知各項不為零且不為1的數列{an}滿足,求證:;

(3)設,為數列{bn}的前n項和,求證:

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科目:高中數學 來源: 題型:

對于函數f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0f(x)的不動點.如果函數

f(x)=ax2bx+1(a>0)有兩個相異的不動點x1x2

⑴若x1<1<x2,且f(x)的圖象關于直線xm對稱,求證:<m<1;

⑵若|x1|<2且|x1x2|=2,求b的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數學試卷(解析版) 題型:填空題

對于函數f(x),若在其定義域內存在兩個實數a,b(a<b),使當x∈[a,b]時,f(x)的值域也是[a,b],則稱函數f(x)為“布林函數”,區間[a,b]稱為函數f(x)的“等域區間”.

(1)布林函數的等域區間是         .

(2)若函數是布林函數,則實數k的取值范圍是           .

 

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科目:高中數學 來源:2014屆湖南省華容縣高一第一學期期末考試數學試卷 題型:解答題

(本小題滿分6分)對于函數f(x),若存在x0ÎR,使f(x0)=x0成立,則稱點(x0,x0)為函數的不動點,已知函數f(x)=ax2+bx-b有不動點(1,1)和(-3,-3),求a、b的值。

 

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