Question

【題目】已知函數．

（1）當時，若在，處的導數相等，證明：；

（2）若有兩個不同的零點，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）得出導函數，由題意得出，利用基本不等式得出，即可證明；

（2）由函數零點的性質可得，整理得出，構造函數，利用導數的單調性得出，令，整理得到，從而得出，利用導數得出函數的單調性，結合題設條件得出，從而得出，最后由不等式的性質得出結論.

（1）當時，

所以，由題意，得，化簡，得

所以，

所以

（2）由題意，得

兩式相減，得

所以

構造函數

則，所以函數在上單調遞增

所以當時，

令，則，化簡得

所以，所以．

因為

若，則，單調遞減，不可能有兩個不同的零點，所以

，

則在上單調遞減，在上單調遞增

又當時，，當時，，所以

所以，即，解得

故．