Question

已知二次函數f（x）對任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，設向量=（sinx，2），=（2sinx，），=（cos2x，1），=（1，2），當x∈[0，π]時，求不等式f＞f的解集．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）對任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立得其對稱軸，結合二次項系數的符號可得其單調性
通過計算，，從而確定它們所在的單調區間，由此解得x的范圍．
解答：解：設f（x）的二次項系數為m，m≠0，
設其圖象上兩點為（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因為=1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
若m＞0，則x≥1時，f（x）是增函數，若m＜0，則x≥1時，f（x）是減函數．
∵=（sinx，2）•（2sinx，）=2sin²x+1≥1，=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①當m＞0時，f（）＞f（）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+＜2x＜2kπ+π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴＜x＜π．
②當m＜0時，同理可得0≤x＜＜或π＜x≤π．
綜上：f（）＞f（）的解集是：
當m＞0時，為{x|＜x＜π}；
當m＜0時，為{x|0≤x＜＜，或π＜x≤π}．
點評：本題是個中檔題，主要考查二次函數的性質，同時考查了向量的數量積運算和三角恒等變換，解三角不等式．注意分類討論的思想的應用．