Question

設(shè)y=log_a

x-2

x+1

（a＞0，a≠1）的定義域?yàn)閇s，t），值域?yàn)椋╨og_a（at-a），log_a（as-a）]，
（1）求證：s＞2；
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)部分必為正，可得使y=log_a

x-2

x+1

的解析式有意義的x的范圍，結(jié)合已知中函數(shù)的定義域，可得[s，t）?（-∞，-1）∪（2，+∞），結(jié)合函數(shù)值域端點(diǎn)中對數(shù)式有意義可得[s，t）?（2，+∞），進(jìn)而證得答案．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，可分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出底數(shù)的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)橹涤驑?gòu)造出方程組，將其轉(zhuǎn)化為整式方程組后，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得答案．

解答：證明：（1）要使y=log_a

x-2

x+1

的解析式有意義，
則

x-2

x+1

＞0，即x＜-1，或x＞2
∴[s，t）?（-∞，-1）∪（2，+∞）
又由as-a=a（s-1）＞0，可得s-1＞0，即s＞1
∴[s，t）?（2，+∞）
∴s＞2；
解：（2）∵s＜t
∴at-a＞as-a
又∵log_a（at-a）＜log_a（as-a），
∴0＜a＜1
又∵u=

x-2

x+1

在[s，t）上單調(diào)遞增
∴y=log_a

x-2

x+1

在[s，t）上單調(diào)遞減
∴

t-2 t+1 =at-a s-2 s+1 =as-a

即方程

x-2

x+1

=ax-a有兩個大于2的相異的根
即ax²-x+2-a=0有兩個大于2的相異的根
令h（x）=ax²-x+2-a
則

0＜a＜1 △=1-4a(2-a)＞0 h(2)=3a＞0 1 2a ＞2

解得0＜a＜

2- 3

2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)問題比較綜合的應(yīng)用．