Question

某工廠在試驗階段大量生產一種零件．這種零件有A、B兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響．若A項技術指標達標的概率為

3

4

，有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

．按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品．
（Ⅰ）求一個零件經過檢測為合格品的概率；
（Ⅱ）任意依次抽出5個零件進行檢測，求其中至多3個零件是合格品的概率；
（Ⅲ）任意依次抽取該種零件4個，設ξ表示其中合格品的個數，求Eξ與Dξ．

Answer 1

分析：（1）一個零件經過檢測為合格品零件有A、B兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響，本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，設出概率，列出方程，得到結果．
（2）任意抽出5個零件進行檢查，由題意知本題是一個獨立重復試驗，其中至多3個零件是合格品的對立事件比較簡單，可以從它的對立事件來解題．
（3）由題意知本題滿足二項分布的條件，利用二項分布的期望和方差公式，代入數據，做出結果．

解答：解：（Ⅰ）一個零件經過檢測為合格品，零件有A、B兩項技術指標需要檢測，
設各項技術指標達標與否互不影響
∴本題是一個相互獨立事件同時發生的概率
設A、B兩項技術指標達標的概率分別為P₁、P₂．
由題意得：

P1= 3 4 P1(1-P2)+(1-P1)P2= 5 12

，
∴P2=

2

3

．
∴一個零件經過檢測為合格品的概率P=P1P2=

3

4

×

2

3

=

1

2

（Ⅱ）任意抽出5個零件進行檢查，本題是一個獨立重復試驗，
其中至多3個零件是合格品的對立事件比較簡單，
可以從它的對立事件來解題，
∴至多3個零件是合格品的概率為：1-

C

4 5

(

1

2

)5-

C

5 5

(

1

2

)5=

13

16

．
（Ⅲ）依題意知ξ～B(4，

1

2

)，
Eξ=4×

1

2

=2，
Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1．

點評：二項分布要滿足的條件：每次試驗中，事件發生的概率是相同的，各次試驗中的事件是相互獨立的，每次試驗只要兩種結果，要么發生要么不發生，隨機變量是這n次獨立重復試驗中實件發生的次數．