Question

某工廠在試驗階段大量生產一種零件．這種零件有A，B兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響．若有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

，至少一項技術指標達標的概率為

11

12

．按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的零件為合格品．
（1）求一個零件經過檢測為合格品的概率是多少？
（2）任意依次抽出5個零件進行檢測，求其中至多3個零件是合格品的概率是多少？
（3）任意依次抽取該種零件4個，設ξ表示其中合格品的個數，求Eξ與Dξ．

Answer 1

分析：（1）設A、B兩項技術指標達標的概率分別為P₁、P₂，根據有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

，至少一項技術指標達標的概率為

11

12

，建立方程組，即可求得一個零件經過檢測為合格品的概率；
（2）利用對立事件概率計算方法，即可求得任意抽出5個零件進行檢查，其中至多3個零件是合格品的概率；
（3）依題意知ξ～B（4，

1

2

），利用公式可得結論．

解答：解：（1）設A、B兩項技術指標達標的概率分別為P₁、P₂
由題意得：

P1•(1-P2)+(1-P1)•P2= 5 12 1-(1-P1)•(1-P2)= 11 12

，解得：P1=

3

4

，P2=

2

3

或P1=

2

3

，P2=

3

4

，
∴P=P1P2=

1

2

．
即一個零件經過檢測為合格品的概率為

1

2

；
（2）任意抽出5個零件進行檢查，其中至多3個零件是合格品的概率為1-

C

4 5

(

1

2

)5-

C

5 5

(

1

2

)5=

13

16

（3）依題意知ξ～B（4，

1

2

），
∴Eξ=4×

1

2

=2，Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1

點評：本題考查概率的計算，考查二項分布的期望與方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．