Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．

(Ⅰ) 當，是否在折疊后的AD上存在一點，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
(Ⅱ) 設BE＝x，問當x為何值時，三棱錐ACDF的體積有最大值？并求出這個最大值．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) x＝3時有最大值，最大值為3

試題分析：(Ⅰ)存在使得滿足條件CP∥平面ABEF，且此時． 2分

下面證明：
當時，即此時，可知，過點作MP∥FD，與AF交于點，則有
，又FD＝，故MP＝3，又因為EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MPEC，故四邊形MPCE為平行四邊形，所以PC∥ME，又CP平面ABEF，ME平面ABEF，故有CP∥平面ABEF成立．   6分
(Ⅱ)因為平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AFEF，所以AF⊥平面EFDC．由已知BE＝x，，所以AF＝x(0x4)，FD＝6x．故．所以，當x＝3時，有最大值，最大值為3．                     12分
點評：本題第一問求解時可采用空間向量法，以F為原點建立坐標系，寫出點P的坐標（用表示）通過直線的方向向量與平面的法向量垂直得到值即可求出點P的位置