Question

 

若函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數，且f(x)_極小值＝f(－)＝－．

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）求函數f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）設函數g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求實數k的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數，則b＝d＝0，

　　　　　　∴f ^/(x)＝3ax²＋c，則

　故f(x)＝－x³＋x；………………………………3分

　　　（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)

　　∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是

增函數，在[－，]上是減函數，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

如圖所示，

　　　　　　當－1＜m＜0時，

f(x)_max＝f(－1)＝0；

當0≤m＜時，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

當m≥時，f(x)_max＝f()＝．

　　　　　　故f(x)_max＝．………………8分

　　　　（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，

　　　　　　　又令t＝xy，則0＜t≤k²，

　　　　　　　故函數F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

             　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

　　　　　　　當k²≤0時，F(x)無最小值，不合

　　　　　　　當k²＞0時，F(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，

　　　　　　　且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，

　　　　　　必須，

　　　　　　故實數k的取值范圍是(0，)]．………………12分