Question

13、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a．
（1）求證：平面AD₁B₁∥平面C₁DB；
（2）求證：A₁C⊥平面AD₁B₁．

Answer 1

分析：（1）欲證平面AD₁B₁∥平面C₁DB，根據面面平行的判定定理可知證一平面內兩相交直線與另一平面平行即可，而D₁B₁∥平面C₁DB，AB₁∥平面C₁DB，滿足定理條件；
（2）欲證A₁C⊥平面AD₁B₁，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證A₁C與平面AD₁B₁內兩相交直線垂直，而A₁C₁⊥D₁B₁，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁，滿足定理條件．

解答：（1）證明：∵D₁B₁∥DB，∴D₁B₁∥平面C₁DB．
同理，AB₁∥平面C₁DB．
又D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴平面AD₁B₁∥平面C₁DB．
（2）證明：∵A₁C₁⊥D₁B₁，而A₁C₁為A₁C在平面A₁B₁C₁D₁上的射影，∴A₁C₁⊥D₁B₁．
同理，A₁C⊥AB₁，D₁B₁∩AB₁=B₁．
∴A₁C⊥平面AD₁B₁．

點評：本題主要考查了平面與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．