Question

（本小題13分）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．
（1）若對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值；
（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）的最小值為4（2）

解析試題分析：⑴．
根據(jù)題意，解得，所以．                              ……2分
令，即．得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5f/4/1zx5w3.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以當(dāng)時(shí)，，．                        ……4分
則對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有
，所以．
所以的最小值為4．                                                    ……6分
（2）因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為．
則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/aa/0/nal2j.png" style="vertical-align:middle;" />，所以切線的斜率為．
則=，
即．
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，
所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
所以函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)．
則．令，則或．

則 ，即，解得．                              ……12分
考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，尤其是單調(diào)性、極值、最值等，不論研究函數(shù)的什么性質(zhì)，不要忘記先看函數(shù)的定義域.