Question

（本小題滿分12分）
某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．（I）將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數；（II）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

（I）（II）時利潤最大.

解析試題分析：（Ⅰ）設商品降價元，則多賣的商品數為，若記商品在一個星期的獲利為，
則依題意有，
又由已知條件，，于是有，所以．
（Ⅱ）根據（Ⅰ），我們有．

		2		12
		0		0
		極小		極大

故時，達到極大值．因為，，所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大．
考點：函數模型的選擇與應用．
點評:本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．利用導數求函數的最值是解決本題的關鍵．