Question

（2010•宿州三模）過正三棱臺的任意兩個頂點的直線有15條，其中異面直線有（　　）對．

A．12

B．24

C．36

D．48

Answer 1

分析：直接解答，先看與下底面上的一條邊對應的異面直線的條數，類推到上底面的邊；再求側面上的異面直線的對數即可．

解答：解：正三棱臺上底面和下底面各有三條邊
各個側面均為四邊形，各有六條線段，
這樣每條棱被算了兩次，共9條棱
∴共有3×2+3×6-9=15條直線
分三類：
①三棱臺的上底面三角形中任意取一條邊a，
這樣在與a異面的直線一共5條，這樣算3條底邊
一共有3×5=15對異面直線；
②三棱臺的下底面三角形中任意取一條邊b，
這樣在與b異面的直線一共5條，這樣算3條底邊
一共有3×5=15對異面直線；
③分別位于兩個側面且不在底面的異面直線：
共（3×4）÷2=6對
綜上所述，所有的中異面直線有15+15+6=36對．
故選C．

點評：本題考查棱臺的結構特征，異面直線的判斷，排列組合的實際應用，是難題．