Question

（2010•宿州三模）已知函數f（x）=x²-2alnx，g(x)=

1

3

x3-x2．
（1）討論函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≥g'（x）對于任意的x∈（1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，再進行分類討論：a≤0，a＞0時，利用f'（x）＞0確定函數f（x）的單調增區間；f'（x）＜0確定函數f（x）的單調減區間；
（2）求導函數g'（x）=x²-2x，從而f（x）≥g'（x）即alnx-x≤0，進一步轉化為a≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，利用導數可求右邊函數的最小值，從而確定實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，…（2分）
當a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數；
當a＞0時，令f′（x）＞0得x＞

a

，∴f（x）在(

a

，+∞)上為增函數；
令f′（x）＜0得0＜x＜

a

，∴f（x）在(0，

a

)上為減函數，
綜上：當a≤0時，f（x）的增區間為（0，+∞），無減區間；
當a＞0時，f（x）的增區間為(

a

，+∞)，減區間為(0，

a

)．…（6分）
（2）∵g′（x）=x²-2x，∴f（x）≥g′（x）即alnx-x≤0，
由題意，a≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，…（8分）
令h(x)=

x

lnx

，則h′(x)=

lnx-1

ln2x

，
令h′（x）＞0得x＞e，∴h（x）在（e，+∞）上為增函數；
令h′（x）＜0得0＜x＜e，∴h（x）在（0，e）上為減函數；
故h(x)=

x

lnx

在x=e取最小值，∴a≤h（e）=e，∴a≤e．…（12分）
（或令h（x）=alnx-x，即h（x）_max≤0，分類討論即可）

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的單調性及恒成立問題的處理，關鍵是分離參數，借助于函數的最值，求得參數的范圍．