Question

已知向量

m

=(cosx，-sinx)，

n

=(cosx，sinx-2

3

cosx)，x∈R，令f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈(0，

π

2

]時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據

m

和

n

表示出函數的解析式，進而利用兩角和公式和二倍角公式化簡整理，進而根據正弦函數的單調性求得函數的單調遞增區間．
（Ⅱ）根據x的范圍確定2x+

π

6

的范圍，進而利用正弦定理的單調性求得函數的最大值和最小值，進而求得函數的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2x-sinx(sinx-2

3

cosx)=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
∵函數y=sinx的單調增區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（Ⅱ）當x∈(0，

π

2

]時，
∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2
∴函數f（x）的值域為[-1，2]

點評：本題主要考查了正弦函數的單調性，和兩角和公式，二倍角公式等的運用．三角函數的基本公式較多，平時應注意多積累．