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已知向量
m
=(cos θ，sin θ)和
n
=(
2
-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|
m
+
n
|=
8
2
5
，求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)的值．
分析：根據向量的坐標運算求出
m
+
n
，然后表示出
m
+
n
的模，利用同角三角函數間的基本關系、兩角和的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，讓模等于
8
2
5
，列出關于cos（θ+
π
4
）的方程，兩邊平方即可得到cos（θ+
π
4
）的值，根據二倍角的余弦函數公式化簡cos（θ+
π
4
），得到cos2(
θ
2
+
π
8
)的值，然后根據θ的范圍求出
θ
2
+
π
8
的范圍，進而判斷出cos（
θ
2
+
π
8
）的正負，開方即可求出值．
解答：解：
m
+
n
=(cosθ-sinθ+
2
，cosθ+sinθ)，
|
m
+
n
|=
(cosθ-sinθ+
2
)2+(cosθ+sinθ)2

=
4+2
2
(cosθ-sinθ)

=
4+4cos(θ+
π
4
)
．
=2
1+cos(θ+
π
4
)

由已知|
m
+
n
|=
8
2
5
，得cos(θ+
π
4
)=
7
25
，
∴sin（θ+
π
4
）=
1-(
7
25
)2
=
24
25
，
∴sinθ=sin[（θ+
π
4
）-
π
4
]=
2
2
×（
24
25
-
7
25
）=
17
2
50
；
又cos(θ+
π
4
)=2cos2(
θ
2
+
π
8
)-1，
所以cos2(
θ
2
+
π
8
)=
16
25
．
∵π＜θ＜2π，∴
5π
8
＜
θ
2
+
π
8
＜
9π
8
，
∴cos(
θ
2
+
π
8
)＜0．
∴cos(
θ
2
+
π
8
)=-
4
5
．
點評：此題考查學生會求向量的模，靈活運用兩角和與差的余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道綜合題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)
m
∥
n
且α∈(-
π
2
，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosωx，sinωx)，
n
=(cosωx，
3
cosωx)，設函數f(x)=
m
•
n
．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸是x=
π
6
，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)，
m
與
n
為共線向量，且α∈[-π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求
sin2α
sinα-cosα
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），若|
m
+
n
|=2
2
，求cos(
θ
2
+
π
6
)的值．

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