Question

等差數列{a_n}及等比數列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a₂=b₂＞0，則當n≥3時有（　　）

A．a_n＞b_n

B．a_n=b_n

C．a_n≥b_n

D．a_n≤b_n

Answer 1

分析：利用等差數列、等比數列的圖象公式、分類討論、二項式定理、數學歸納法即可得出．

解答：解：設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，a₁=b₁=a＞0，
∵a₂=b₂＞0，∴a+d=aq＞0，可得d=a（q-1）．
下面對d分類討論（n≥3）：
①若d=0，則q=1，∴a_n=b_n=a；
②若d＞0，則d=a（q-1）＞0，∴q＞1．
∴a_n=a+（n-1）a（q-1），
bn=aqn-1=a[（q-1）+1]^n-1=a[1+

C

1 n-1

(q-1)+

C

2 n-1

(q-1)2+…+

C

n-2 n-1

(q-1)n-2+(q-1)n-1]，
∴b_n-a_n=a[

C

2 n-1

(q-1)2+…+

C

n-2 n-1

(q-1)n-2+(q-1)n-1]＞0，
∴b_n＞a_n．
③若d＜0，則0＜q＜1．當n≥3時，下面用數學歸納法證明：a_n＜b_n．（*）
（i）當n=3時，a₃=a+2d=a+2a（q-1）=a（2q-1）＜aq²=b₃，即此時成立．
（ii）假設當n=k≥3時，不等式成立，即a+（k-1）d＜aq^k-1，
則n=k+1時，a_k+1=a_k+d＜b_k+d，
下面證明：b_k+d＜b_k+1，即證明aq^k-1+a（q-1）＜aq^k，
即證明q-1＜q^k-1（q-1），
∵0＜q＜1，∴即證明1＞q^k-1，而此式顯然成立，因此當n=k+1時，不等式（*）成立，即a_n＜b_n．
由上可知：不等式（*）對任意的大于3的正整數都成立．
綜上①②③可知：對?n∈N^*（n≥3）都有a_n≤b_n．
故選D．

點評：熟練掌握等差數列、等比數列的圖象公式、分類討論、二項式定理、數學歸納法是解題的關鍵．