Question

，其中ω＞0．
（1）若ω=2，求函數f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）滿足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且，求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角和與差的三角函數公式展開，結合二倍角的三角函數公式和輔助角公式進行化簡，得f（x）=．因為ω=2，所以f（x）=，利用三角函數的周期公式即可算出函數f（x）的最小正周期．
（2）因為f（π+x）=f（π-x）對x∈R成立，所以直線x=π是函數圖象的對稱軸．根據余弦函數圖象對稱軸方程的公式列式，算出，結合可得，從而得到，最后利用余弦函數單調區間的結論建立關于x的不等式，解之即可得到函數f（x）的單調遞減區間．
解答：解：根據題意，得
∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=（1+cos2ωx）
∴f（x）

=…（5分）
（1）若ω=2，則函數表達式為：，
因此，f（x）的最小正周期…（7分）
（2）∵y=f（x）滿足f（π+x）=f（π-x）（x∈R）
∴直線x=π是函數圖象的對稱軸，可得或，
因此，．解之得
又∵，∴取整數k=2，得，
可得函數解析式為：
解不等式，得
∴函數f（x）的單調遞減區間為．…（13分）
點評：本題給出三角函數表達式，求函數的最小正周期和單調減區間，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．