Question

若函數f（x）=log_ax（其中a＞0且a≠1）在x∈[2，+∞）上總有|f（x）|＞1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由在x∈[2，+∞）上總有|f（x）|＞1?|log_ax|＞1，要去掉絕對值，需要考慮a的范圍分類討論（1）若a＞1，x≥2時，log_ax＞0，即log_ax＞1恒成立．
（2）若0＜a＜1，x≥2時log_ax＜0，．即log_ax＜-1恒成立，從而可求a的范圍

解答：解：（1）若a＞1，x≥2時，log_ax＞0，
由|f（x）|＞1得f（x）＞1，即log_ax＞1恒成立．
∴x＞a恒成立，∴1＜a＜2．
（2）若0＜a＜1，x≥2時log_ax＜0，
由|f（x）|＞1得f（x）＜-1．即log_ax＜-1恒成立，也即x＞

1

a

恒成立，
∴

1

a

＜2．∴

1

2

＜a＜1，
綜上，a的取值范圍為（

1

2

，1）∪（1，2）．

點評：本題主要考查了利用對數函數 的單調性解不等式，解題中要體會分類討論思想的應用，屬于中檔試題