Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ＡＢＣＤ的長(zhǎng)為２，寬為１，ＡＢ、ＡＤ邊分別在ｘ軸、ｙ軸的正半軸上，Ａ點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使Ａ點(diǎn)落在線段ＤＣ上．

（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為ｋ，試寫出折痕所在直線的方程；

（Ⅱ）求折痕的長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

解(I) （1）當(dāng)時(shí),此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合, 折痕所在的直線方程

（2）當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G(a,1)

所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有

故G點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段OG的中點(diǎn)）為，折痕所在的直線方程，即

由（1）（2）得折痕所在的直線方程為：k=0時(shí)，；時(shí)

（II）(1)當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2;

(1)   當(dāng)時(shí), 折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

令解得    ∴

所以折痕的長(zhǎng)度的最大值2