Question

直線y=kx-2與橢圓x²+4y²=80相交于不同的兩點P、Q，若PQ的中點橫坐標為2，則直線的斜率等于

1

2

．

Answer 1

分析：因為直線和橢圓有兩個不同的交點，所以兩方程聯立化成關于x的一元二次方程的判別式大于0，又給出了兩個交點的橫坐標，可運用設而不求的辦法把設出的P，Q點的坐標代入橢圓方程，作差后整理，使得一邊為過P，Q兩點的直線的斜率，一邊代中點坐標，進一步整理后解關于k的方程即可．

解答：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直線y=kx-2與橢圓x²+4y²=80聯立得：（4k²+1）x²-16kx-64=0
因為直線y=kx-2與橢圓x²+4y²=80相交于不同的兩點P、Q，所以△=（-16k）²-4×（4k²+1）×（-64）＞0，
即1280k²+256＞0，此式顯然成立．
把P，Q點的坐標待入橢圓方程得：x12+4y12=80①
x22+4y22=80②
①-②得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

，所以

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4[k(x1+x2)-4]

，
又因為PQ的中點橫坐標為2，所以x₁+x₂=4，
所以k=-

4

4(4k-4)

，即（2k-1）²=0，解得k=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了“點差法”，考查了學生的運算能力，一般涉及直線與圓錐曲線的交點問題，如果給出了弦的中點坐標，常采用點差法，此題是中檔題．