Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，向量

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π，求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增，遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量平行可得：bcosC=（2a-c）cosB，再結(jié)合正弦定理可得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，整理可得sinA=2sinAcosB，進(jìn)而得到答案．
（II）由（1）可得：f（x）=

3

sin（ωx+

π

6

），結(jié)合題意可得：f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的定義域即可得到答案．

解答：解：（I）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

m

∥

n

，并且

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），
所以bcosC=（2a-c）cosB．
由正弦定理可得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
所以整理可得：sin（B+C）=2sinAcosB，
因?yàn)锳+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，
所以sinA=2sinAcosB，
所以cosB=

1

2

，
所以B=

π

3

．
 （II）由題意可得：f（x）=cos（ωx-

π

6

）+sinωx=

3

sin（ωx+

π

6

），
因?yàn)閒（x）的最小正周期為π，
所以ω=2，所以f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，
又因?yàn)閤∈[0，π]，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

π

6

，

2π

3

]．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練利用正弦定理求解三角形，以及兩角和與差的正弦余弦公式，并且掌握正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，此題是一道綜合性較強(qiáng)的題型，屬于中檔題型．