Question

已知函數f（x）=2^x-

1

2x

．
（1）若f（x）=2+

2

2x

，求x的值；
（2）判斷f（x）的單調性，并證明；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于任意實數t∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 2^x-

1

2x

=2+

2

2x

，即 2^2x -2•2^x-3=0，解得 2^x 的值，可得x的值．
（2）函數f（x）的定義域為R，任意取x₂＞x₁，化簡f（x₂）-f（x₁）的解析式，可得它的符號為正號，
即 f（x₂）＞f（x₁），可得函數f（x）在R上是增函數．
（3）當t∈[1，2]，由題意可得m≥-（4^t+1）．求得-（4^t+1）的最大值為-5，從而求得m的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=2^x-

1

2x

=2+

2

2x

，∴2^2x -2•2^x-3=0，解得 2^x=3，或 2^x=-1 （舍去），
故 x=log₂3．
（2）函數f（x）的定義域為R，任意取x₂＞x₁，則 f（x₂）-f（x₁）=2x2-

1

2x2

-（2x1-

1

2x1

）=（2x2-2x1）（1+

1

2x2•2x1

）．
由題設可得，（2x2-2x1）＞0，（1+

1

2x2•2x1

）＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函數f（x）在R上是增函數．
（3）當t∈[1，2]，2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，即2^t（2^2t-

1

22t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0．
由于2t-

1

2t

＞0，∴2^t（2^t+

1

2t

）+m≥0，故 m≥-（4^t+1）．
由于-（4^t+1）的最大值為-5，故有m≥-5，即m的范圍是[-5，+∞）．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數的恒成立問題，屬于中檔題．