Question

已知函數f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)sinx  (-

π

2

＜x＜

π

2

且x≠0)
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根據函數的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=f（x），可得函數為偶函數．
（2）當0＜x＜

π

2

時，由函數的解析式求得f（x）＞0，當-

π

2

＜x＜0時，由f（x）為偶函數，利用偶函數的性質可得f（x）＞0，從而證得結論．

解答：解：（1）∵f(-x)=(

1

2-x-1

+

1

2

)sin(-x)=-(

1

1 2x -1

+

1

2

)sinx
=-(

2x

1-2x

+

1

2

)sinx=(

2x

2x-1

-

1

2

)sinx=[(1+

1

2x-1

)-

1

2

]sinx=(

1

2x-1

+

1

2

)sinx=f(x)，
∴f（x）是偶函數．
（2）當0＜x＜

π

2

時，2x＞1，  2x-1＞0  ，又sinx＞0   ，   ∴f(x)＞0．
當-

π

2

＜x＜0時，
∵f（x）為偶函數，由上式知f（x）＞0，故f（x）＞0成立．
綜上可得，f（x）＞0．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷和證明，函數的奇偶性的應用，屬于中檔題．