Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（一1，1），P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．

    （I）求點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M，試探究：點M的橫坐標是否為定值?并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得，   2分

整理得軌跡的方程為（且），…4分

（Ⅱ）（方法一）設，

由可知直線，則，

故，即，…………………6分

由三點共線可知，與共線，

∴ ，

由（Ⅰ）知，故，                  8分

同理，由與共線，

∴ ，即，

由（Ⅰ）知，故，                        10分

將，代入上式得，

整理得，

由得，即點M的橫坐標為定值．                           12分

（方法二）

設

由可知直線，則，

故，即，             6分

∴直線方程為：   ①；               8分

直線的斜率為：，                    

∴直線方程為：，即  ②；·· 10分

聯立①②，得，∴點的橫坐標為定值． 12分