Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

2

=1，過程P（1，1）作直線l，與橢圓交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，則直線l的斜率為

 

．

Answer 1

分析：根據題意，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓的方程并將得到的等式作差可得：

1

4

（x₁²-x₂²）+

1

2

（y₁²-y₂²）=0．由P為AB的中點，利用中點的坐標公式算出x₁+x₂=y₁+y₂=2，代入前面的等式并利用直線的斜率公式，即可算出直線l的斜率．

解答：解：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵A、B兩點在橢圓

x2

4

+

y2

2

=1上，∴

x12 4 + y12 2 =1 x22 4 + y22 2 =1

，
兩式相減可得：

1

4

（x₁²-x₂²）+

1

2

（y₁²-y₂²）=0，化簡得

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

．
又∵點P（1，1）是AB的中點，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
因此可得直線l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

點評：本題給出橢圓內一點P，求經過點P且以它為中點的橢圓的弦所在直線的方程．著重考查了橢圓的標準方程與簡單性質、直線的斜率公式和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．根據橢圓的方程，利用直線的斜率公式并采用“設而不求”的方法來解，是解決本題的關鍵所在．