Question

已知△ABC的一邊BC在平面M內，從A作平面M的垂線，垂足是A₁，設△ABC的面積是S，它與平面M組成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求證：△A₁BC的面積=S•cosα．

Answer 1

分析：由題意及所給的圖形，利用三垂線定理及二面角平面角的概念和三角形的面積公式即可得證．

解答：證明：在△ABC中，作AD⊥BC，
垂足為D，連接A₁D，A₁B，A₁C，
因AD⊥BC，由三垂線定理可得
A₁D⊥BC，
所以∠ADA₁為平面ABC與平面M所構成的二面角的平面角，
∴∠ADA₁=α
在△AA₁D中，A₁D=AD•cosα
∴△A₁BC的面積=

1

2

•A1D•BC=

1

2

•AD•BC•cosα=△ABC的面積•cosα=S•cosα．

點評：此題重點考查了利用三垂線定理，借助二面角平面角的概念及三角形的面積公式得到以后常用的利用投影面積法求解二面角的大小這一常用的方法．