Question

（2013•萊蕪二模）定義在R上的函數f（x）的導函數為f′（x），已知f（x+1）是偶函數（x-1）f′（x）＜0．若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞2，則f（x₁）與f（x₂）的大小關系是（　　）

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）=f（x₂）

C．f（x₁）＞f（x₂）

D．不確定

Answer 1

分析：由f（x+1）為偶函數可得f（x）圖象關于x=1對稱，由（x-1）f′（x）＜0，可得f（x）在（-∞，1]，[1，+∞）上的單調性，分情況討論：若x₁≤1，利用對稱性把f（x₁）變到區間[1，+∞）上用單調性與f（x₂）比較；若x₁＞1，則由1＜x₁＜x₂直接用單調性可進行大小比較．

解答：解：因為f（x+1）是偶函數，所以f（-x+1）=f（x+1），則f（x）的圖象關于x=1對稱，
由（x-1）f′（x）＜0得，x＞1時f′（x）＜0，f（x）單調遞減，x＜1時f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
若x₁≤1，由x₁+x₂＞2，得x₂＞2-x₁≥1，
所以f（x₁）=f（2-x₁）＞f（x₂）；
若x₁＞1，則1＜x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂），
綜上知f（x₁）＞f（x₂），
故選C．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及導數與函數單調性的關系，考查學生靈活運用知識分析解決問題的能力，由所給條件分析出函數的對稱性、單調性是解決問題的關鍵，數形結合是分析本題的有力工具．