Question

命題甲：“方程x2+

y2

m

=1是焦點在y軸上的橢圓”，
命題乙：“函數f(x)=

4

3

x3-2mx2+(4m-3)x-m=0在（-∞，+∞）上單調遞增”，
這兩個命題有且只有一個成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據橢圓的標準方程可得：當甲命題成立時實數m的取值范圍是m＞1，當命題乙成立時，則有f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即△=16m²-16（4m-3）≤0，解得：實數m的取值范圍是：1≤m≤3，進而得到當兩個命題有且只有一個成立時實數m的取值范圍．

解答：解：因為命題甲：“方程x2+

y2

m

=1是焦點在y軸上的橢圓”，
所以根據橢圓的標準方程可得：當甲命題成立時實數m的取值范圍是m＞1，
因為命題乙：“函數f(x)=

4

3

x3-2mx2+(4m-3)x-m=0在（-∞，+∞）上單調遞增”，
所以當命題乙成立時，則有f′（x）=4x²-4mx+（4m-3）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，即△=16m²-16（4m-3）≤0，
所以解得：實數m的取值范圍是：1≤m≤3，
所以當兩個命題有且只有一個成立時則有：

m＞1 m＜1或m＞3

或者

m≤1 1≤m≤3

，
解得：m＞3或m=1．
所以 實數m的取值范圍為m=1或m＞3．

點評：本題主要是借助于判斷命題的真假來考查函數單調性的判斷與證明、橢圓的簡單性質等知識點，解決成立問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識，此題屬于基礎題．