Question

如圖，雙曲線與拋物線相交于，直線AC、BD的交點為P（0，p）。

（I）試用m表示
（II）當m變化時，求p的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）x₁x₂＝·＝＝．
（Ⅱ）p的取值范圍是．

解析試題分析：（Ⅰ）依題意，A、B、C、D四點坐標是下面方程組的解：

消去x，得y²－y＋1－m＝0，                     2分
由Δ＝1－4(1－m)＞0，得m＞，
且y₁＋y₂＝1，y₁y₂＝1－m．
x₁x₂＝·＝＝．    6分
（Ⅱ）由向量＝(x₁，y₁－p)與＝(－x₂，y₂－p)共線，
得x₁(y₂－p)＋x₂(y₁－p)＝0，
∴p＝            9分
＝，
∵m＞，∴0＜p＜，
故p的取值范圍是．                     12分
考點：雙曲線、拋物線的位置關系，平面向量的坐標運算。
點評：中檔題，涉及曲線的位置關系問題，往往通過聯立方程組，消元后，應用韋達定理，簡化運算過程。本題（II）通過應用平面向量共線的條件，建立了p，m的關系，利用函數的觀點，確定得到p的范圍。