Question

（2008•虹口區(qū)二模）已知

OB

=（0，1），直線l：y=-1，動點P到直線l的距離d=|

PB

|
（1）求動點P的軌跡方程M；
（2）證明命題A：“若直線m交動點P的軌跡M于C、D兩點，如m過B點，則

OC

•

OD

=-3”為真命題；
（3）寫出命題A的逆命題，判斷該逆命題的真假，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），由題設知|y+1|=

x2+(y-1)2

，由此能求出動點P的軌跡方程．
（2）設直線m的方程y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0，由此能證明

OC

•

OD

=-3．
（3）命題A的逆命題：“若直線m交動點P的軌跡M于不同兩點C，D，且

OC

•

OD

=-3，則直線m過點B（0，1）”．該逆命題是假命．證明：設直線m的方程：y=kx+n C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+n代入x²=4y，得x²-4kx-4n=0，則x₁x₂=-4n，y₁y₂=k²x₁x₂+nk（x₁+x₂）+n²=-4nk²+4nk²+n²=n²，由此能證明逆命題是假命題．

解答：解：（1）設P（x，y），由題設知
|y+1|=

x2+(y-1)2

，
解得動點P的軌跡方程M為：x²=4y．
（2）設直線m的方程：y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+1代入x²=4y，得
x²-4kx-4=0，則x₁x₂=-4，y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4k²+4k²+1=1，
∴

OC

•

OD

=-3．
（3）命題A的逆命題：“若直線m交動點P的軌跡M于不同兩點C，D，且

OC

•

OD

=-3，則直線m過點B（0，1）”．
證明：設直線m的方程：y=kx+n C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把y=kx+n代入x²=4y，得
x²-4kx-4n=0，則x₁x₂=-4n，y₁y₂=k²x₁x₂+nk（x₁+x₂）+n²=-4nk²+4nk²+n²=n²，
∵

OC

•

OD

=（x₁，y₁）×（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3，
∴-4n+n²=-3，
∴n=1或n=3，
即直線m過點（0，1 ）或（0，3），
∴逆命題是假命題．

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，拋物線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．