Question

（2006•豐臺區二模）已知函數f（x）=mx-nx³（-1≤x≤2），且f（x）在x=1處有極大值為2．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設a=f（lg2），b=f（cos2），試比較a，b的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得m，n的值，從而得f（x）=3x-x³，由f′（x）＞0可求其遞增區間，由f′（x）＜0可求其遞減區間；
（Ⅱ）比較知，-1＜cos2＜lg2＜1，利用（Ⅰ）的結論即可比較a，b的大小．

解答：解：（Ⅰ）求導f′（x）=m-3nx²…（2分）
依題意

m-n=2 m-3n=0

，解得m=3，n=1，
所以f（x）=3x-x³…（4分）
當f′（x）=3-3x²＞0，即x²-1＜0，⇒-1＜x＜1；
f′（x）=3-3x²＜0⇒x＜-1或x＞1；
所以函數f（x）的單調增區間為（-1，1）；
函數f（x）的單調減區間為（1，2]，…（10分）
（Ⅱ）因為-1＜cos2＜lg2＜1，函數f（x）在區間（-1，1）為增函數
所以 b=f（cos2）＜a=f（lg2），即b＜a…（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查方程思想與綜合運算能力，屬于中檔題．