Question

 已知函數(shù)f（x）＝2lnx+ax²－1（a∈R）

(Ⅰ)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若a＝1，

（i）若不等式f（1+x）+f（1－x）＜m對(duì)任意的0＜x＜1恒成立，求m的取值范圍；

（ii）若x₁，x₂是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且f（x₁）+f（x₂）＝0，求證x₁+x₂>2.

Answer 1

 (Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?sub>，，  令，，

  ①當(dāng)時(shí)，在恒成立，f(x)遞增區(qū)間是； …….2分

  ②當(dāng)時(shí)，,

又x>0,  遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.      ………4分

（Ⅱ）（ⅰ）

設(shè),

   化簡(jiǎn)得：, ,…6分

     ，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，

  所以，,即的取值范圍是       

（ⅱ），在上單調(diào)遞增,

①若，則與已知矛盾,

②若,則與已知矛盾,

③若，則，又，得與矛盾,

④不妨設(shè)，則由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí),,

令，則,
又在上單調(diào)遞增，即 .     

證2：

,

設(shè)，則t>0，，,

令，得，在（0，1）單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增,

,又因?yàn)?sub>時(shí),,不成立.

，.