Question

【題目】設函數f (x)＝lnx－x＋1．

（1）求f (x)的極值；

（2）若0＜a＜1，證明：函數g (x)＝(x－a)ex－ax2＋a(a－1) x(x＞lna)有極小值點x0，且g (x0)＜0．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求導數，解方程 列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值；（2）令得，，由（1）知，可得有極小值點，只需證明 即可.

（1）f′(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0得x＝1．

當x變化時，f ′(x)，f (x)的變化情況如下表：

x	(0，1)	1	(0，＋∞)
f ′(x)	＋	0	－
f (x)	↗	極大	↘

所以當x＝1時，f (x)取極大值f (1)＝0，沒有極小值．

（2）g′(x)＝(ex－a)[ x－(a－1)]，令g′(x)＝0得x1＝lna，x2＝a－1．

因為0＜a＜1，由（1）知lna＜a－1．

當x∈(lna，a－1)時，g′(x)＜0；當x∈(a－1，＋∞)時，g′(x)＞0；所以g (x)有極小值點x0＝a－1．

由lna＜a－1，得ea－1＞a．

g (x0)＝g (a－1)＝a(a－1)2－ea-1＜a(a－1)2－a＝a(a2－2a－1)．

因為0＜a＜1，所以a2－2a－1＜0，因此g (x0)＜0．