Question

已知函數（其中a為常數，e為自然對數的底數）．
（1）任取兩個不等的正數x₁、x₂，恒成立，求：a的取值范圍；
（2）當a＞0時，求證：f（x）=0沒有實數解．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求f'（x）=，再由：“”得出“f（x）在（0，+∞）上為單調減函數”轉化為“f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立”，最后轉化為最值法求解．
（2）令g（x）=ax+（x＞0），h（x）=（x＞0），當a＞0時，f（x）＞，h′（x）=，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上為增函數，（e，+∞）上為減函數，從而得出h（x）最大值，最終得到即ax2+-lnx＞0恒成立從而f（x）=0無解．
解答：解：，
，
∴，
∵，
∴．
（2）令g（x）=ax+（x＞0），h（x）=（x＞0），當a＞0時，f（x）＞，h′（x）=，令h′（x）＞0，則x∈（0，e），
故h（x）在（0，e）上為增函數，（e，+∞）上為減函數，
∴h（x）最大值為：h（e）=，
∴x＞0時，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+＞，
即ax2+-lnx＞0恒成立，
∴f（x）=0無解．
點評：本題主要考查函數恒成立問題、用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍往往轉化為求相應函數的最值問題．