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已知函數f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1+kx),其中a>0且a≠1.
(Ⅰ)當k=-2時,求函數h(x)=f(x)+g(x)的定義域;
(Ⅱ)若函數H(x)=f(x)-g(x)是奇函數(不為常函數),求實數k的值.
分析:(Ⅰ)當k=-2時,由函數h(x)的定義,可得 
1+x>0
1-2x>0
,解得x的范圍,可得函數h(x)的定義域.
(Ⅱ)由于函數H(x)=loga
1+x
1+kx
是奇函數,可得f(-x)=-f(x),即 loga
1-x
1-kx
=-loga
1+x
1+kx
,即 loga
1-x2
1-(kx)2
=0,由此求得k的值.
解答:解:(Ⅰ)當k=-2時,求函數h(x)=f(x)+g(x)=loga(1+x)+loga(1-2x)=loga(1+x)(1-2x),
1+x>0
1-2x>0
,
解得-1<x<
1
2

故函數h(x)的定義域為(-1,
1
2
).
(Ⅱ)由于函數H(x)=f(x)-g(x)=loga
1+x
1+kx
是奇函數,
故有f(-x)=-f(x),
loga
1-x
1-kx
=-loga
1+x
1+kx
,
loga
1-x
1-kx
+loga
1+x
1+kx
=loga
1-x2
1-(kx)2
=0,
∴k=±1.
點評:本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用,求函數的定義域、函數的奇偶性的判斷,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數a的不同取值,寫出該函數的單調增區間;
(2)已知當x>0時,函數在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
(3)記(2)中的函數圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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同步練習冊答案
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