Question

已知焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為,為橢圓的左頂點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知過點的直線與橢圓交于，兩點.
（ⅰ）若直線垂直于軸，求的大小;
（ⅱ）若直線與軸不垂直，是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的標準方程為.
（2）不存在，詳見解析

解：（1）設橢圓的標準方程為，且.
由題意可知：，.            
所以.            
所以，橢圓的標準方程為.     
（2）由（1）得.設.
（ⅰ）當直線垂直于軸時，直線的方程為.
由 解得：或
即（不妨設點在軸上方）.
則直線的斜率，直線的斜率.
因為 ，
所以.
所以 .
（ⅱ）當直線與軸不垂直時，由題意可設直線的方程為.
由消去得：.
因為 點在橢圓的內部，顯然.
               
因為 ，，，
所以


.
所以 .
所以 為直角三角形.
假設存在直線使得為等腰三角形，則.

取的中點，連接，則.
記點為.
另一方面，點的橫坐標，
所以 點的縱坐標.
所以
.
所以 與不垂直，矛盾.
所以 當直線與軸不垂直時，不存在直線使得為等腰三角形