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已知圓P:(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0),滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1.求在滿足條件①②的所有圓中,使代數式a2-b2-2b+4取得最小值時圓的方程.

解:如下圖所示,圓心坐標為P(a,b),半徑為r,則點P到x軸,y軸的距離分別為|b|,|a|.
∵圓P被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3:1,
∴∠APB=90°.
取AB的中點D,連接PD,
則有|PB|=|PD|,∴r=|b|.
取圓P截y軸的弦的中點C,連接PC,PE.
∵圓截y軸所得弦長為2,
∴|EC|=1,∴1+a2=r2
即2b2-a2=1.
則a2-b2-2b+4=b2-2b+3=(b-1)2+2.
∴當b=1時,a2-b2-2b+4取得最小值2,
此時a=1,或a=-1,r2=2.
對應的圓為:(x-1)2+(y-1)2=2,
或(x+1)2+(y-1)2=2.
∴使代數式a2-b2-2b+4取得最小值時,對應的圓為
(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y-1)2=2.
分析:設出圓心坐標為P(a,b),半徑為r,則點P到x軸,y軸的距離分別為|b|,|a|.利用弧長的比,求出∠APB.取AB的中點D,連接PD,取圓P截y軸的弦的中點C,連接PC,PE.通過1+a2=r2,求解a2-b2-2b+4取得最小值,求出對應的圓的方程.
點評:本題考查當直線與圓相離時,圓上的點到直線的最大距離為d+r,最小距離為d-r,其中d為圓心到直線的距離.是解題的關鍵.當直線與圓相交時,設弦長為l,弦心距為d,半徑為r,則有(2+d2=r2.這是必須掌握的知識點.
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